Справочник по математике: подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в разделе Планиметрия с акцентом на вычисление площади круга

Ищете ресурс, чтобы подготовить школьников к ЕГЭ и ОГЭ по математике? Справочник по планиметрии может стать отличным помощником. В нем вы найдете все необходимые формулы и правила, в том числе и для вычисления площади круга.

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

Основные определения и свойства

      Определение 1. Площадью круга называют предел, к которому стремятся площади правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Определение 2. Длиной окружности называют предел, к которому стремятся периметры правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон.

      Замечание 1. Доказательство того, что пределы площадей и периметров правильных многоугольников, вписанных в круг, при неограниченном возрастании числа сторон действительно существуют, выходит за рамки школьной математики и в нашем справочнике не приводится.

      Определение 3. Числом π (пи) называют число, равное площади круга радиуса 1.

      Замечание 2. Число π является иррациональным числом, т.е. числом, которое выражается бесконечной непериодической десятичной дробью:

      Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

Формулы для длины окружности и её дуг

Площадь круга

      Рассмотрим две окружности с общим центром (концентрические окружности) и радиусами радиусами 1 и R, в каждую из которых вписан правильный   n – угольник (рис. 1).

      Обозначим через O общий центр этих окружностей. Пусть внутренняя окружность имеет радиус 1.

Рис.1

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, равна

      Площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна

      Следовательно,

      Поскольку при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса 1, стремится к π, то при увеличении n площадь правильного n – угольника, вписанного в окружность радиуса R, стремится к числу   πR2.

      Таким образом, площадь круга радиуса R, обозначаемая S, равна

S = πR2.

Длина окружности

      Рассмотрим правильный   n – угольник   B1B2…Bn , вписанный в окружность радиуса радиуса R, и опустим из центраO окружности перпендикуляры на все стороны многоугольника (рис. 2).

Рис.2

      Поскольку площадь n – угольника   B1B2…Bn   равна

то, обозначая длину окружности радиуса R буквой C, мы, в соответствии с определением 2, при увеличении n получаем равенство:

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R:

C = 2πR.

      Следствие. Длина окружности радиуса 1 равна   2π.

Длина дуги

      Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.3

      В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

      В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сектора

      Рассмотрим круговой сектор, изображённый на рисунке 4, и обозначим его площадь символом S (α) , где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.4

      В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

      В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Площадь сегмента

      Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

Рис.5

      Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

      Следовательно,

      В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

      Следовательно,

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Как рассчитать площадь предмета?

Рассчет площади предмета зависит от его формы. Вот несколько примеров, как рассчитать площадь для различных геометрических фигур:

1. Квадрат или прямоугольник: Площадь квадрата или прямоугольника можно рассчитать, умножив длину на ширину. Формула для площади прямоугольника: Площадь = длина x ширина.

2. Треугольник: Площадь треугольника можно рассчитать, умножив длину основания на высоту и разделив полученный результат на 2. Формула для площади треугольника: Площадь = (основание x высота) / 2.

3. Круг: Площадь круга можно рассчитать, умножив квадрат радиуса на число "пи" (3.14). Формула для площади круга: Площадь = π x радиус².

4. Трапеция: Площадь трапеции можно рассчитать, сложив длину оснований, умножив полученную сумму на высоту и разделив результат на 2. Формула для площади трапеции: Площадь = ((основание 1 + основание 2) / 2) x высота.

5. Параллелограмм: Площадь параллелограмма можно рассчитать, умножив длину одного основания на высоту, которая проходит перпендикулярно к этому основанию. Формула для площади параллелограмма: Площадь = основание x высота.

Если предмет имеет сложную форму, то можно разбить его на несколько геометрических фигур, рассчитать их площади и затем сложить полученные значения, чтобы получить общую площадь предмета.

Видео. Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.